В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 000 000 избирателей, один процент которых (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлореса. Он хочет быть президентом, но, с другой стороны, хочет, чтобы выборы казались демократическими. «Демократическим голосованием» Мирафлорес называет вот что: всех избирателей разбивают на несколько равных групп, затем каждую из этих групп вновь разбивают на некоторое количество равных групп, затем эти последние группы снова разбивают на равные группы и так далее; в самых мелких группах выбирают представителя
Мирафлорес — герой книги О'Генри «Короли и капуста».(Из задачника "Кванта".)
Этот текст был написан в 2012 году. В нём вольное изложение задачи и вольное же объяснение. Более строгое математическое решение можно найти в "Кванте".
В 2022 году при подготовке публикации для сайта IQPositive текст дополнен размышлениями о выборах в Думу.
Многие помнят эту недавнюю историю: на президентских выборах 2000 года в США проигравший Альберт Гор набрал больше голосов избирателей, чем ставший в результате президентом Джордж Буш-младший. Но почему так произошло, на самом деле, мало кому понятно было. У нас-то всё, казалось, проще: голосовали либо «за/против» (понятно, что «за», но не об этом сейчас), либо «за кого-то одного» (обычно ещё добавлялась и возможность голосования «против всех») — ну а дальше большинством голосов и определялся выбор. Специалисты, понятно, знали, что в США чуть иная система, но остальному населению, как правило, было это не интересно. Вот до этих самых выборов 2000 года, когда выяснилось, что перевес в несколько сотен тысяч голосов избирателей — это не победа и что подобное в США не первый раз происходит.
На самом деле ситуация и для американцев сложилась нетривиальная. Месяц шли всякие пересчёты и суды, пока Верховный Суд не постановил (кстати, всего 5 голосами против 4) прекратить пересчёты и признать Джорджа Буша президентом. Наши комментаторы и аналитики попытались, было, объяснить народу, как всё это получилось, да, как я заметил, не сильно в том преуспели. Ну понятно, что выборы проходят в несколько этапов, но вот какие-то выборщики, бюллетени-бабочки... — в общем, у нас своих проблем навалом, чтобы ещё в чужие вникать.
А вместе с тем ещё лет за 30 до этих событий в советском журнале «Квант» (в самом первом номере) приводилась задачка чуждого, как тогда казалось, политического содержания. Можно было бы и про неё забыть, и про американский курьёз 2000 года, да вот регулярные реформы российского избирательного законодательства не позволяют этого сделать. Не все причины и следствия предлагаемых нам изменений выборных технологий понятны. Но давайте рассмотрим ту задачку — может, что-то и прояснится. Я не буду буквально цитировать журнал, изложу своими словами условие. Да и решение моё не претендует на оптимальность — без проблем можно в Сети найти оригинальную задачу и более короткие и, возможно, более понятные варианты решения. Главное — показать принцип.
Но традиционно начну (или уже продолжу?) с эпиграфа:
Сижу, не пью уже с утра,
На завтра будут выборá.
Я должен быть предельно трезв,
Чтобы в графу поставить крест.
© Кортнев А. А., «Выборы»
Итак, в некоей стране был Правитель. Каким образом он пришёл к власти, не важно. Важно, что он очень хотел эту власть сохранить. Дела в стране шли не самым лучшим образом. И не то, чтобы народ открыто возмущался, но уже достаточно громко роптал. Находились и баламуты, рвущиеся к власти. И хоть считали официально эту бузу происками иноземных агентов, спокойствия оно не добавляло. А времена уже не те, чтобы запросто можно было неугодных в длительную командировку на какие-нибудь бананозаготовки направить. В общем, как ни крутись, а надо свою легитимность доказывать. Т.е. провести выборы. Правитель, конечно, вправе определять схему выборов, распределять избирателей хоть поимённо по группам и округам, но он — и все — обязан признать: побеждает тот, за кого большинство. Ведь у нас демократия.
Можно ли Правителю остаться у власти по итогам выборов, если из
Голосующего за Правителя считаем сторонником, всех остальных — противниками. В рассуждении для краткости будем употреблять минимальное значение в выражении типа «необходимо, чтобы было столько», подразумевая «чтобы было не менее стольких» — если и будет больше, так всё на пользу. Наша победа — конечно, победа Правителя, поддержанного сторонниками народом.
Помним, что задача — математическая, потому отбрасываем всякие сомнительные предвыборные технологии, типа «чёрного» PR, несчастных случаев с другими кандидатами, самопровозглашение монархом, подтасовки протоколов счётных комиссий и прочее. Отказываемся от прямых одноэтапных выборов, осознавая, что не набрать необходимого большинства голосов. Думаем.
Принимаем во внимание, что большинство — это, например, 2 из 3, 3 из 4 или 5, или 5 из 8. Думаем.
Примерная схема многоэтапных выборов:
Например, всего 15 избирателей
Усложняем пример. Избирателей 200, три этапа. Разбиваем на 25 групп-первичек по 8 человек, от них получим 25 выборщиков, которых сгруппируем по 5 человек в 5 групп-вторичек. Выборщики из этих пяти групп-вторичек — назовём их старшими выборщиками — и определят результат. Необходимо для успеха, чтобы среди старших выборщиков было хотя бы три сторонника (3 из 5). Т.е. три группы-вторички должны содержать по 3 сторонника (остальные группы — только противников) — всего 9 сторонников (это выборщики от групп-первичек), т.е. в 9 группах-первичках должно быть по 5 сторонников. Итого 9 * 5 = 45 сторонников из 200 избирателей. Победу обеспечивают 45 / 200 = 22.5% избирателей. Меньше четверти!
Продолжаем арифметику. Из предыдущего примера видим, что победу делают: в первичке (5 из 8), в группе выборщиков (3 из 5), в группе старших выборщиков (3 из 5). Перемножая вторые числа в скобках получим общее число избирателей
Важно понять: нам не нужно выигрывать в большинстве первичек или в большинстве групп на каком-либо этапе, кроме предпоследнего. Нам надо создать систему, при которой на каждом этапе отбрасывались бы как меньшинство только голоса противника. И, конечно, рассчитать так, чтобы предпоследний этап дал таки больше выборщиков-сторонников для участия в последнем этапе. Мы оцениваем минимально необходимое число сторонников, учитывая, что по первичкам их распределяем сами и иерархию остальных этапов сами задаём. Если вдруг сторонников наших обнаружится больше, они только улучшат общую статистику, но, вообще-то, не повлияют на заранее рассчитанный положительный исход.
Возвращаемся к исходной задаче. Разложим на множители число избирателей:
20 000 000 = 2 * 107 = 28 * 57 = 4 * 82 * 57 — это количество избирателей
Вот эти множители (4*8*8*57) и определяют численность групп на каждом этапе, а количество множителей — количество этапов (10 этапов). Посчитаем, сколько сторонников надо на каждом этапе для победы в группе: 3 из 4, 3 из 5, 5 из 8:
3 [из 4] * 5 [из 8]2 * 3 [из 5]7 = 3 * 52 * 37 = 164 025 — это количество сторонников
И ещё раз: для победы на наших 10-этапных выборах достаточно иметь среди 20 миллионов избирателей 164 025 сторонников, т.е. чуть более 0.82%. А у нас их — целый процент, 200 тысяч. Да здравствует наш Правитель!
И кстати, нет необходимости проводить муторные 10-этапные выборы с непосредственным участием выборщиков на каждом этапе. В наш век развитых электронных средств связи, разумеется, максимально защищённых от какого-либо постороннего вмешательства, достаточно собрать протоколы голосования с первичек и приложить их к выстроенной нами заранее иерархии групп. Разумеется, всё делаем честно, никаких подтасовок. Так быстрее, дешевле, надёжнее.
24.02.2012
PS. У такой технологии искусственного изменения соотношения политических сил на выборах есть даже специальное название — джерримендеринг (от англ. Gerrymandering).
PPS. Кстати, а среди скольких избирателей можно обеспечить победу, имея 200 тысяч сторонников?
200 000 = 26 * 55 — это количество сторонников
Итого: выборы проводим в 6+5=11 этапов. Два сторонника победят в группе из трёх избирателей или выборщиков (шесть таких этапов), пять сторонников нужно для победы среди девяти избирателей или выборщиков (пять таких этапов).
36 * 95 = 43 046 721 — это количество избирателей
Т.е. с такой по численности и преданности армией мы можем победить на выборах и среди 43 миллионов избирателей. Внимание: победу на выборах обеспечит поддержка менее половины процента избирателей
PPPS. Кстати, а если довести до подобного «совершенства» избирательную систему России перед предстоящими выборами Президента (2012 год), какого количества сторонников хватит?
По данным ЦИК РФ на 1 января 2012 года в России около
110 000 000 = 11 * 107 = 11 * 27 * 57 = 11 * 42 * 8 * 57 — это количество избирателей
Считаем необходимое число сторонников:
6 [из 11] * 3 [из 4] 2 * 5 [из 8] * 3 [из 5] 7= 6 * 32 * 5 * 37 = 590 490 — это количество сторонников
Итого: 600 тысяч сторонников (<0.54%) может быть достаточно для победы в России при «правильно организованном» многоэтапном (11 этапов в данном примере) избирательном процессе.
Для сравнения две цитаты:
Указ Президента Российской Федерации от 1 марта 2011 г. № 252 «О предельной штатной численности органов внутренних дел Российской Федерации»: «Установить с 1 января 2012 г. предельную штатную численность органов внутренних дел Российской Федерации (без персонала по охране и обслуживанию зданий), финансируемую за счёт бюджетных ассигнований федерального бюджета, в количестве 1 106 472 единиц, в том числе сотрудников органов внутренних дел Российской Федерации — 907 630 человек» (это только за счёт федерального бюджета!).
Численность Вооруженных Сил РФ запланирована на уровне 1 миллиона человек и больше сокращаться не будет, сообщил министр обороны РФ Анатолий Сердюков (РИА Новости, 01.07.2011).
Это не намёки — никоим образом не хочу сказать, что наша армия или полиция полным составом голосует за какого-то одного кандидата. Просто сравниваю порядки чисел. Например, по данным Минюста России ряды Единой России насчитывали в начале 2011 года более 2 миллионов человек.
Кстати, на Выборах-2008 наименьшее число голосов набрал
Кстати, при 120 миллионах избирателей достаточно даже меньше сторонников — 546 750. Но поиски оптимальных численностей групп и расстановок сторонников — суть уже игры для математиков. Мы в решении задачи показали главное: и одного процента достаточно, чтобы управлять мнением большинства по вполне демократическому принципу, если его умело использовать.
PPPPS. Дети! Учите математику! Учите логику, историю, родной язык, литературу. Даже добротное среднее образование советского образца позволит не задержаться лапше на ушах и пудре на мозгах. Жаль только, что и взрослые далеко не всегда этот простой вывод понимают...
Не так, как в США, и не так, как в Анчурии по версии "Кванта". Но.
Рассмотрим, как формируется парламент страны — Дума.
В постсоветской России обычно половина депутатов Государственной думы избирается по партийным спискам, половина — по мажоритарной системе. С мажоритарной системой понятно: за кого из кандидатов больше избирателей проголосовало в некоем округе, тот и считается избранным от этого округа. А вот для партий установлен порог: если партия не набирает 5% голосов, она не проходит в Думу.
Что такое 5% от 225? Это более 11 депутатов (математически; конечно, никто депутатов не пилит - число представителей партий округляют до целого). А ведь были выборы (в 2007 и 2011 годах), когда порог был 7% и все 450 депутатов избирались по партийным спискам. Тогда партия, "перешагнувшая" 7%, уже получала более 30 мест в Думе.
Таким образом, в Думу (по партийным спискам) проходит лишь несколько партий — как правило, 4 (в 1999 году — 6). Таким образом, например, в 1995 году получилось, что избранные в Думу партии поддержаны лишь 51% голосов избирателей. 49% голосов активных избирателей не учтены при формировании Государственной думы!
Представители остальных партий могут быть избранными по одномандатным округам и несколько изменить расклад политических сил в парламенте страны. Но откуда и как берутся округа?
Территория страны делится на 225 одномандатных округов по числу мест избираемых депутатов. Высчитывается единая норма представительства на округ: количество избирателей (примерно 110 млн) делится на количество депутатских мандатов (225) — получается чуть меньше полумиллиона избирателей на округ. Но округа нарезаются территориально, потому число избирателей получается разным. Так, в 2016 году на территории Ненецкого АО в одном округе было около 33 тысяч избирателей, а в Астраханской области — 747 тысяч избирателей в один округ организовали. (Мнение избирателя из Ненецкого АО оказалось более чем в 20 раз весомее мнение избирателя-астраханца.)
А ещё можно разделить, например, городских и сельских жителей в крупных субъектах федерации по разным округам, а можно объединить — и то, и другое, вызовет споры и домыслы.
В общем, есть место для джерримендеринга и у нас. Только это уже не математика...